이 문제는 100의 약수의 개수와 관련이 있다. 100을 소인수분해 하면 2²×5²이다.
100의 약수의 개수는 표를 그렸을 때, 가로로 세칸(1,2,2²) 세로로 세칸(1,5,5²)이고 3×3=9 즉 9개가 된다. 
100의 약수의 개수는 100명의 사람이 100이 적힌 버튼을 누르는 것과 같기 때문에 답은 9번이다.

첫 번째 사람은 1의 배수, 두 번째 사람은 2의 배수, 100번째 사람은 100의 배수를 누르는 규칙으로, n번째 사람은 n의 배수인 버튼을 누른다. 이때 100이 적힌 버튼은 '100이 n의 배수가 되는 자연수 n의 값'의 수만큼 눌러진다. 위의 문장을 식으로 표현하면 100 = n * p (단, n과 p는 자연수)으로 나타낼 수 있다. 이때의 n은 'n번째 사람'을 의미한다. 위 식을 만족하는 n의 값은 n=100/p로 나타낼 수 있는데, n은 자연수이므로 100은 p로 나누어 떨어지는 수, 다시 말하면 p는 100의 약수이다. 
100의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100으로 9개이다. 따라서 100은 총 9번 눌리게 된다.

100명의 사람은 첫 번째 사람부터 1의 배수 버튼, 두 번째 사람은 2의 배수 버튼... 백 번째 사람은 100의 배수인 버튼을 누른다. 여기서 100이 눌린 횟수는 100의 약수의 개수와 같다고 할 수 있다. 그 이유는 100이 적힌 버튼이 누르려면, 100의 약수인 수의 배수여야 하기 때문이다. 쉽게 말하면, 100의 약수 중 하나인 25의 배수는 100이 적힌 버튼을 누를 수 있다. 반면, 100의 약수가 아닌 수인 23의 배수는 100이 적힌 버튼을 누를 수 없다. 결국 앞에서 말했듯이 100이 눌린 횟수 = 100의 약수의 개수이다. 그래서 100의 약수의 개수를 구하면, 100을 소인수분해 하면 2²×5²으로 약수의 개수는 (2+1)×(2+1) = 3×3 = 9개이다.
따라서 100이 적힌 버튼은 모두 9번 눌려진다.

결론은 "100 이하의 수 중에서 배수가 100인 수들의 개수를 구하라"고 쉽게 해석할 수 있습니다. 배수가 100인 수들을 쉽게 구하는 방법을 예시로 설명하자면, 배수가 10인 수는 결국 10의 약수입니다. 위처럼 배수가 100인 수는 결국 100의 약수라고 할 수 있습니다. 이제 100의 약수의 개수를 구하는 방법을 설명하겠습니다! 
1. 먼저 소인수 분해를 이용해서 약수를 쉽게 알 수 있도록 100을 소인수분해 합니다.
2. 100=2²×5²이 나오는데 소인수분해한 상태에서 각 지수의 1을 더하고 그 값을 곱하면 그 수의 악수의 개수를 구할 수 있다라는 성질을 이용하면 100의 약수의 개수를 구할 수 있습니다. 
3. (2+1)×(2+1)=9이므로 100이 적힌 버튼을 누른 횟수는 9번입니다.