내각에 최대한 직각이 많이 나오는 12각형을 만들고자 한다. 직각의 개수는 최대한 몇 개까지 가능한가? (단, 12각형은 볼록 다각형일 필요는 없다.)
이 문제는 조합적 사고를 통한 기하 문제로 내각에 대한 부등식 사용 능력과 조합적 실례 찾기를 할 수 있는지 확인하는 문제이다.
삼각형은 최대 1개의 직각, 사각형은 4개, 오각형은 3개의 직각을 가질 수 있다.
에 대해
각형이
개의 내부의 직각을 가진다고 하자.
개의 다른 각들은
보다 작고 모든 각의 합은
이므로
가 성립한다. 이것을 정리하면
이다. 따라서 6각형은 5개, 7각형은 5개, 8각형은 6개이고 실례가 존재한다.
이제개를 구성하여
을 귀납적으로 증명하자. 주어진 부등식에서 최댓값을 갖게 하기 위해서는 각이 3개 늘어날 때, 직각은 2개씩 늘어나면 된다.
보다 큰 각을 다음 방법으로 쪼개면 되며, 여전히
보다 큰 각이 존재하므로 귀납적으로 모두 증명이 가능하다.
삼각형은 최대 1개의 직각, 사각형은 4개, 오각형은 3개의 직각을 가질 수 있다.
에 대해
각형이
개의 내부의 직각을 가진다고 하자.
개의 다른 각들은
보다 작고 모든 각의 합은
이므로
가 성립한다. 이것을 정리하면
이다. 따라서 6각형은 5개, 7각형은 5개, 8각형은 6개이고 실례가 존재한다.이제
개를 구성하여
을 귀납적으로 증명하자. 주어진 부등식에서 최댓값을 갖게 하기 위해서는 각이 3개 늘어날 때, 직각은 2개씩 늘어나면 된다.
보다 큰 각을 다음 방법으로 쪼개면 되며, 여전히
보다 큰 각이 존재하므로 귀납적으로 모두 증명이 가능하다.
이 문제의 출제 주제와 유형은 다음과 같습니다.
[출제 Point]
- 조합, 대수, 기하를 융합적으로 평가
- 귀납적 사고를 통한 일반화 능력 평가
[이것만은 꼭]
중등 기하에서의 조합적 접근으로 내각의 성질에 대한 개념이 잘 정리되어
있어야 하며, 대수적으로 부등식에 대한 연습도 충분히 되어 있어야 문제를
정확하게 풀어 낼 수 있습니다. 내각이 직각이라는 문제 조건을 무시하여
오답인 경우가 있습니다. 한 번에 12각형을 구성하기는 어려움이 있으므로,
3각형, 4각형, ... 으로 점점 각을 늘려나가며 일반화 시키는 능력이 필요합니다.
[출제 Point]
- 조합, 대수, 기하를 융합적으로 평가
- 귀납적 사고를 통한 일반화 능력 평가
[이것만은 꼭]
중등 기하에서의 조합적 접근으로 내각의 성질에 대한 개념이 잘 정리되어
있어야 하며, 대수적으로 부등식에 대한 연습도 충분히 되어 있어야 문제를
정확하게 풀어 낼 수 있습니다. 내각이 직각이라는 문제 조건을 무시하여
오답인 경우가 있습니다. 한 번에 12각형을 구성하기는 어려움이 있으므로,
3각형, 4각형, ... 으로 점점 각을 늘려나가며 일반화 시키는 능력이 필요합니다.
다음 그림과 같이 솔레노이드 옆에 가벼운 금속 고리 C를 매달아 놓고 스위치 S를 닫는 순간 솔레노이드 코일에 시계 방향으로 전류가 흘렀다면 고리 C에 흐르는 전류의 방향과 운동 방향은?
코일에 전류가 흐르면 코일의 오른쪽에는 전자기유도에 의해 N극이 만들어 진다. 따라서 금속 고리에는 고리 안쪽으로 들어가는 자기장이 강해지므로 금속고리에는 변하는 자기장에 반대하는(관성의 법칙) N극 자기장이 왼쪽으로 작용한다. 따라서 금속 고리는 오른쪽으로 힘을 받게 된다.
이 문제는 전자기 유도의 기본 개념을 잘 알고 있는지 확인하는 문제입니다.
[출제 Point]
- 전자기 유도의 원리 (전자기에서의 관성의 법칙)
- 유도 전류의 방향
[이것만은 꼭]
코일 주위에서 자석을 움직일 때 코일을 통과하는 자기장이 변하여 코일에
전류가 흐르는 현상을 전자기 유도라고 한다는 것은 꼭 기억하고 있어야 하는
기본 개념입니다. 또 자석이나 코일 중 하나만 움직여도 전류가 흐른다는 것과
자기장의 변화를 방해하는 자기장을 만들 수 있는, 즉 자석의 운동을 방해하는
방향으로 유도 전류가 흐른다는 것을 잘 알아 두세요!
[출제 Point]
- 전자기 유도의 원리 (전자기에서의 관성의 법칙)
- 유도 전류의 방향
[이것만은 꼭]
코일 주위에서 자석을 움직일 때 코일을 통과하는 자기장이 변하여 코일에
전류가 흐르는 현상을 전자기 유도라고 한다는 것은 꼭 기억하고 있어야 하는
기본 개념입니다. 또 자석이나 코일 중 하나만 움직여도 전류가 흐른다는 것과
자기장의 변화를 방해하는 자기장을 만들 수 있는, 즉 자석의 운동을 방해하는
방향으로 유도 전류가 흐른다는 것을 잘 알아 두세요!
다음은 원자설과 일정 성분비 법칙에 대한 설명이다.
(가) 화합물을 구성하는 성분 원소 사이에는 항상 일정한 질량비가 성립하는데, 이를 일정 성분비의 법칙 이라고 한다. 예를 들어 산화 구리(CuO)를 구성하는 구리와 산소의 질량비는 항상 4 : 1로 일정하다.
(나) 프랑스의 과학자 베르톨레는 화합물이 만들어질 때 성분의 질량비가 일정하지 않을 수 있다고 주장했다. 이런 화합물들을 ‘ 비화학양론적 화합물 ‘ 이라고 하며, 베르톨레를 기념하여 “ 베르톨라이드 “ 라고 한다.
(다) 산소와 구리로 이루어진 두 가지 화하물 A와 B에서 성분 원소의 질량비를 나타낸 것이다.
(다)에 주어진 화합물 B의 화학식은 (1) 이다. 이 때 구리와 산소는 ‘ 비화학양론적 화합물 ‘을 만들 수 있다. 구리와 산소로 이루어진 화합물 X 120g에는 산소 20g이 포함되어 있다고 한다.
화합물 X 120g에 포함된 Cu2+ 의 질량 (2) g
(나) 프랑스의 과학자 베르톨레는 화합물이 만들어질 때 성분의 질량비가 일정하지 않을 수 있다고 주장했다. 이런 화합물들을 ‘ 비화학양론적 화합물 ‘ 이라고 하며, 베르톨레를 기념하여 “ 베르톨라이드 “ 라고 한다.
(다) 산소와 구리로 이루어진 두 가지 화하물 A와 B에서 성분 원소의 질량비를 나타낸 것이다.
| 화합물 | 질량(g) | |
|---|---|---|
| Cu | O | |
| A | 2.4 | 0.6 |
| B | 14.4 | 1.8 |
화합물 X 120g에 포함된 Cu2+ 의 질량 (2) g
(1)과 (2) 알맞은 값을 순서대로 짝지은 것은?
화합물 A는 구리와 산소의 질량비가 4 : 1이므로 제시문 (가)에 주어진 산화구리(
)이다.
화합물 B는 구리와 산소의 질량비가 8 : 1이다. 같은 질량의 산소와 결합한 구리의 질량이
B에서가 A에서의 2배이므로 산소 원자와 결합한 구리 원자의 수는 B에서가 A에서의 2배
이다. 따라서 B의 화학식은 
이다.
구리와 산소의 화합물은 이온 결합 화합물이다. 산소는
이온을 형성하므로 구리는
에서 +2가 양이온이고,
에서 +1가 양이온이다. 전체 화합물은 전기적으로 중성이므로
와
가 혼합되어 음이온과 결합할 때 일정한 수의
와 결합하는 구리 이온의 수는
와
의 존재 비율에 따라 달라진다. 따라서 구리의 화합물에서 비화학양론적 화합물이 만들어질 수 있다.
화합물 A의 화학식이이므로 원자 1개의 상대적 질량은
이다. 화합물 X 에서 구리 100g당 산소 20g이 결합해있으므로, 포함된 원자의 개수 비는 다음과 같다.
화합물은 전기적으로 중성이므로, 구리 원자 5개의 (+)전하와 산소 원자 4개의 (-)전하를 더해서 0이 되어야 한다.를
개라고 하면
는 개 이므로 다음과 같은 관계가 성립한다.
따라서 이온의 전하에 따른 개수 비는
이다.
전체 100g의 구리 중의 질량은 
이다.
)이다.
화합물 B는 구리와 산소의 질량비가 8 : 1이다. 같은 질량의 산소와 결합한 구리의 질량이
B에서가 A에서의 2배이므로 산소 원자와 결합한 구리 원자의 수는 B에서가 A에서의 2배
이다. 따라서 B의 화학식은 이다.구리와 산소의 화합물은 이온 결합 화합물이다. 산소는
이온을 형성하므로 구리는
에서 +2가 양이온이고,
에서 +1가 양이온이다. 전체 화합물은 전기적으로 중성이므로
와
가 혼합되어 음이온과 결합할 때 일정한 수의
와 결합하는 구리 이온의 수는
와
의 존재 비율에 따라 달라진다. 따라서 구리의 화합물에서 비화학양론적 화합물이 만들어질 수 있다.화합물 A의 화학식이
이므로 원자 1개의 상대적 질량은
이다. 화합물 X 에서 구리 100g당 산소 20g이 결합해있으므로, 포함된 원자의 개수 비는 다음과 같다.화합물은 전기적으로 중성이므로, 구리 원자 5개의 (+)전하와 산소 원자 4개의 (-)전하를 더해서 0이 되어야 한다.
를
개라고 하면
는 개 이므로 다음과 같은 관계가 성립한다.따라서 이온의 전하에 따른 개수 비는
이다. 전체 100g의 구리 중
의 질량은 이다.
이 문제는 물질의 구성에서 화학 반응의 규칙성 단원에 대한 문제입니다.
[출제 Point]
- 일정 성분비 법칙과 배수 비례 법칙을 문제에 적용하기
- 물질을 구성하는 성분 원자의 개수 비 구하기
[이것만은 꼭]
밀도에 대한 정확한 정의와 고체는 중력과 부력을 모두 받으며, 부력의 크기는 잠겨
있는 부분의 부피에 비례한다는 개념을 정확하게 알고 있어야 합니다.
밀도=(부피)/(질량) 식에서 3개 중 2개의 물리량을 조건, 자료 등으로 제시한 후
나머지 1개의 물리량을 구하는 연습을 많이 해야 합니다.
[출제 Point]
- 일정 성분비 법칙과 배수 비례 법칙을 문제에 적용하기
- 물질을 구성하는 성분 원자의 개수 비 구하기
[이것만은 꼭]
밀도에 대한 정확한 정의와 고체는 중력과 부력을 모두 받으며, 부력의 크기는 잠겨
있는 부분의 부피에 비례한다는 개념을 정확하게 알고 있어야 합니다.
밀도=(부피)/(질량) 식에서 3개 중 2개의 물리량을 조건, 자료 등으로 제시한 후
나머지 1개의 물리량을 구하는 연습을 많이 해야 합니다.
그림 (가)는 소화 기관 A, B, C에서 3대 영양소의 소화와 흡수 과정을 나타낸 것이고, 그림 (나)는 사람의 소화 기관의 위치와 명칭을 나타낸 것이다.
소화액의 종류와 영양소의 종류를 정리한 표를 참고해 소화기관 A, B, C에서 분비되는 소화액과 이를 분해하는 영양소를 바르게 찾아 (가), (나), (다), (라) 순서대로 나타낸 것은?
| 소화액 | 영양소 |
|---|---|
| 침, 위액, 이자액, 쓸개즙, 장액 | 탄수화물, 단백질, 지방 |
| 소화 기관 | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 소화액 | (가) | (나) | 이자액, 쓸개즙, 장액 |
| 영양소 | (다) | (라) | 탄수화물, 단백질, 지방 |
소화관에서의 소화 과정
(1) 입에서의 소화
음식물을 씹는 동안 침샘에서는 침이 분비
침 속에는 아밀레이스라는 소화 효소가 들어 있어 녹말을 엿당으로 분해
(2) 위에서의 소화
단백질이 분해되기 시작
음식물이 들어 오면 위샘에서 위액이 분비되며, 위의 꿈틀 운동으로 위액과 음식물이 고루 섞임
(3) 소장에서의 소화
3대 영양소가 최종 산물로 분해되어 몸속으로 흡수
음식물이 위에서 십이지장으로 넘어오면 이자액과 쓸개즙이 십이지장으로 분비됨. 이자액은 이자에서 만들어져 십이지장으로 분비되는 소화액으로 3대 영양소의 소화 효소가 모두 들어 있음
(1) 입에서의 소화
음식물을 씹는 동안 침샘에서는 침이 분비
침 속에는 아밀레이스라는 소화 효소가 들어 있어 녹말을 엿당으로 분해
(2) 위에서의 소화
단백질이 분해되기 시작
음식물이 들어 오면 위샘에서 위액이 분비되며, 위의 꿈틀 운동으로 위액과 음식물이 고루 섞임
(3) 소장에서의 소화
3대 영양소가 최종 산물로 분해되어 몸속으로 흡수
음식물이 위에서 십이지장으로 넘어오면 이자액과 쓸개즙이 십이지장으로 분비됨. 이자액은 이자에서 만들어져 십이지장으로 분비되는 소화액으로 3대 영양소의 소화 효소가 모두 들어 있음
중학교 2학년 과정에서 배우는 소화와 흡수 이론을 문제에 적용하는 문제입니다.
[출제 Point]
- 소화관의 구성 (위치와 명칭)
- 소화관에서의 소화 과정 (화학적 소화)
[이것만은 꼭]
문제에 주어진 그림 (가)는 소화기관에서 3대 영양소의 소화와 흡수 과정을
나타낸 것으로 반드시 알고 있어야 하는 가장 기본적인 내용입니다. 예를 들어
그림 (가)에 주어진 산성도만 봐도 각각 어떤 소화기관을 말 하는 것인지
바로 알 수 있어야 합니다.
[출제 Point]
- 소화관의 구성 (위치와 명칭)
- 소화관에서의 소화 과정 (화학적 소화)
[이것만은 꼭]
문제에 주어진 그림 (가)는 소화기관에서 3대 영양소의 소화와 흡수 과정을
나타낸 것으로 반드시 알고 있어야 하는 가장 기본적인 내용입니다. 예를 들어
그림 (가)에 주어진 산성도만 봐도 각각 어떤 소화기관을 말 하는 것인지
바로 알 수 있어야 합니다.
다음을 읽고 미지의 행성의 대기압은 지구의 몇 배인지 구하시오.
<영화 ‘ 인터스텔라 ’ 내용>
(가) 가까운 미래, 세계는 여러 가지 요인으로 농작물에 온갖 병이 들게 되고 식량 부족에 시달리게 된다. 인류 멸망의 시간이 바로 코앞으로 다가온 시점... 먹고 사는 문제에 급급하게 되면서 NASA 조차도 경제적인 이유로 해체되어 버린다. 황폐해진 지구를 떠나서 새로운 개척지를 발견하는 것이 목적이 되어버린 시대에서 때마침 태양계에서 웜홀이 발견되어 이곳을 통하여 새로운 터전이 될만한 행성을 발견하기 위해 다시 돌아올 수 없을지 모르는 길을 향해, 주인공은 사랑하는 가족들을 살리겠다는 의지하나로 미지의 여행을 떠나게 된다.
(나) 주인공이 도착한 생명체가 있을 만한 미지의 행성에서 알아낸 자료이다.
ㆍ행성의 자전축의 기울기 : 24°
ㆍ행성 대기의 총 질량 : 지구의
배
ㆍ행성의 반지름 : 지구의
배
ㆍ행성의 질량 : 지구의 2배
(가) 가까운 미래, 세계는 여러 가지 요인으로 농작물에 온갖 병이 들게 되고 식량 부족에 시달리게 된다. 인류 멸망의 시간이 바로 코앞으로 다가온 시점... 먹고 사는 문제에 급급하게 되면서 NASA 조차도 경제적인 이유로 해체되어 버린다. 황폐해진 지구를 떠나서 새로운 개척지를 발견하는 것이 목적이 되어버린 시대에서 때마침 태양계에서 웜홀이 발견되어 이곳을 통하여 새로운 터전이 될만한 행성을 발견하기 위해 다시 돌아올 수 없을지 모르는 길을 향해, 주인공은 사랑하는 가족들을 살리겠다는 의지하나로 미지의 여행을 떠나게 된다.
(나) 주인공이 도착한 생명체가 있을 만한 미지의 행성에서 알아낸 자료이다.
ㆍ행성의 자전축의 기울기 : 24°
ㆍ행성 대기의 총 질량 : 지구의
배ㆍ행성의 반지름 : 지구의
배ㆍ행성의 질량 : 지구의 2배
행성의 반지름을 R, 행성의 질량을 M, 행성 대기의 질량을 m이라고 하면, 기압 = 
이 된다. g(중력가속도) = 
에서 지구중력가속의 8배가 되므로 이 행성에서의 기압은 지구의 3.2배이다.
이 문제는 대기압에 대한 개념을 정확하게 알고 이를 활용해 정량적으로 계산할 수 있는지 평가하는 문제입니다.
[출제 Point]
- 기압의 정확한 정의
- 토리첼리의 실험 : [압력] = [물질의 밀도] ⅹ [중력 가속도] × [물질 기둥의 높이]
- 중력가속도 식을 이용한 정량적 계산
[이것만은 꼭]
기압에 대한 정의와 중력가속도 공식을 정확하게 알고 있는지 우선 확인해야 합니다.
전형적인 영재학교 시험 문제 유형으로 자료에 주어진 조건, 물리량을 대입해
문제에서 요구하는 값을 구하는 연습(정량적 계산 능력)을 많이 하도록 하세요.
[출제 Point]
- 기압의 정확한 정의
- 토리첼리의 실험 : [압력] = [물질의 밀도] ⅹ [중력 가속도] × [물질 기둥의 높이]
- 중력가속도 식을 이용한 정량적 계산
[이것만은 꼭]
기압에 대한 정의와 중력가속도 공식을 정확하게 알고 있는지 우선 확인해야 합니다.
전형적인 영재학교 시험 문제 유형으로 자료에 주어진 조건, 물리량을 대입해
문제에서 요구하는 값을 구하는 연습(정량적 계산 능력)을 많이 하도록 하세요.
